本文旨在探討拋物線及其標準方程的教學設計，介紹拋物線基本概念和性質，並通過實例演示其應用。通過本文的學習，讀者將更好地理解拋物線，並掌握解題技巧與方法，提高數學應用能力。
第1篇
摘要：通過幾何畫板及fash的演示，使學生直觀感受拋物線的形成過程，然後學生運用類比的方法，自主研究、合作交流等方式得出拋物線的定義、標準方程，最後反思應用。
圓錐曲線是解析幾何中的一個重要內容，本章圓錐曲線分為橢圓、雙曲線和拋物線三個部分，三部分在圓錐曲線中的地位相同。本章對拋物線的安排篇幅不多，並非其不重要，主要是因為學生對於橢圓、雙曲線的基本知識和研究方法已經熟悉了，這裏精簡介紹，學生是完全可以接受的，講解時應採用類比的方法讓學生自主研究、合作交流等方式得出拋物線的定義、標準方程，最後反思應用。。本課是高二數學§的第一課時，它是學習拋物線的性質及其應用的基礎。拋物線的定義很簡單但非常重要，學習時要注意和橢圓、雙曲線的第二定義相聯繫，為深刻體會圓錐曲線的統一定義作好充分準備。由橢圓、雙曲線、拋物線的定義可以看出，它們都是平面內與一個定點的距離和它到一條直線的距離之比為常數e的點的軌跡，隨着e的變化，軌跡的圖形發生變化，既可從中得到圓錐曲線的統一定義，又可對學生進行運動、變化、對立、統一的辯證唯物主義思想教育。在由拋物線的定義導出它的標準方程時，可先讓學生考慮怎樣選擇座標系，在導出方程的過程中，設焦點到準線的距離是p，這就是拋物線方程中參數p的幾何意義，所以p的值永遠大於0。 數學情境的創設
筆者上這一節課的時間是2003年12月10日上午第二節，當時的背景是淮安市高
一、高二數學研討會在我校舉行，圍繞新課改的精神，如何進行課堂教學上的一節公開課。筆者設置了以下的數學情境：
前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標準方程，幾何性質，大家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內容是什麼？
與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓，當e＞1時是雙曲線，那麼，當e=1時，它是什麼曲線呢？
師生一起利用幾何畫板進行動畫演示得出e=1，指出此時曲線是拋物線。 教學目標
根據教學大綱和考試説明，結合數學情境的創設，確定本節課的素質教育目標是： ⑴知識教學目標：理解和掌握拋物線的定義與標準方程。
⑵能力訓練目標：掌握拋物線的定義及其標準方程，掌握拋物線的焦點、準線及方程與焦點座標的關係，培養學生數形結合、分類討論、類比的思想。
⑶德育滲透目標：根據圓錐曲線的統一定義，對學生進行運動、變化、對立、統一的辯證唯物主義思想教育。 2 教學過程 創設情境
師：前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標準方程，幾何性質，大家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內容是什麼？
生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓，當e＞1時是雙曲線，那麼，當e=1時，它是什麼曲線呢？
師生一起利用幾何畫板進行動畫演示得出e=1，指出此時曲線是拋物線。
（通過幾何畫板的演示，由e的變化揭示課題，通過研究e的值，得到拋物線，再觀察拋物線的點滿足的條件，由學生歸納拋物線的定義，生動、直觀。） 探索研究
學生觀察 ① 動點m到焦點f的距離|mf|與動點m到定直線l的距離d之間的關係；② 觀察追蹤動點m得到的軌跡形狀。
探索出當e ＝1時動點m的軌跡為拋物線，進而給出拋物線的定義。
平面內與一個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點f叫拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.
3、求拋物線的標準方程。 師：下面，根據拋物線的定義，我們來求拋物線的方程，過f作準線的垂線，垂足為k，設｜mk｜＝p，如何建立直角座標系？
先讓學生思考，獨立建立直角座標系，教師巡視，從學生中歸納出以下幾種解法，視頻展台展出。
師：選擇哪一種方程作為拋物線的標準方程？並説明理由。
生：將方程y2＝2px (p＞0)叫做拋物線的標準方程，因為此時方程最簡潔，頂點是原點。 師：很好！我們把方程y2＝2px (p＞0)叫做拋物線的標準方程，它表示焦點在x軸的正半軸上，座標是(p/2,0),準線方程是x＝－p/2。 （flash動畫演示）
② 已知拋物線的標準方程y2＝2px （p>0），迅速寫出它的焦點座標、準線方程； ③ 已知拋物線的焦點f（p/2 ，0）或準線方程x＝－p/2 （p>0），迅速寫出其標準方程。 練習：已知拋物線的標準方程是y2＝6x，則焦點座標是________；準線方程是_____________。 生：焦點(3/2, 0)，準線方程是x＝－3/2。
利用fash，設置一個旋轉按鈕將焦點在x軸正半軸上的拋物線（上圖）逆時針旋轉分別得到下列圖形，由學生説出標準方程，焦點座標及準線方程。
y＝p/2 師：觀察上面的圖與表格， 觀察、歸納，尋找異同？ 生：相同點 ① 頂點為原點； ② 對稱軸為座標軸；
③頂點到焦點的距離等於頂點到準線的距離，其值為p(p＞0) 。 不同點 ①一次項變量為x（或y），則焦點在x（或y）軸；若係數為正，則焦點在正半軸上，係數為負，則焦點在負半軸上；
② 焦點在x（或y）軸的正半軸上，開口向右（向上），焦點在x（或y）軸的負半軸上，開口向左（向下）。
師：知道拋物線的標準方程，如何寫出焦點座標與準線方程？
生1：先確定焦點的位置，然後根據表格寫出焦點座標與準線方程。
生2：先觀察方程的結構，若一次項變量為x，則焦點的橫座標是一次項係數的1/4，縱座標為0；若一次項變量為y，則焦點的縱座標是一次項係數的1/4，橫座標為0。 反思應用
例1 已知拋物線的焦點座標是f（0，－2），求它的標準方程.生：因為焦點在y軸的負半軸上，並且所以所求拋物線的標準方程是x2=－8y.變：
⑴拋物線的標準方程是y2=－6x，則它的焦點座標是＿，準線方程是＿＿＿； 生：焦點(－3/2,0)，準線方程x＝3/2 ⑵拋物線的標準方程是y=－8，則它的焦點座標是＿，準線方程是＿； 生：焦點(0，－2)，準線方程x＝2 ⑶拋物線的焦點f(0,3)，則它的標準方程是________； 生：x2＝12y ⑷拋物線的準線方程是y＝3,則它的標準方程是＿＿＿＿＿＿； 生：x2＝－12y ⑸拋物線的焦點在x軸上，且過點(－3,2)，則它的標準方程是_____； 生：由拋物線過點(－3,2)，且焦點在x軸上，設方程為y2＝－2px(p>0), 將點(－3,2)代入方程得p＝－4/3，所以方程為y2＝－4x/3。
師：大家想一想，在橢圓（或雙曲線）中，若橢圓（雙曲線）經過兩個點，求它的標準方程時，我們是如何設方程的？
生：一般化，設mx2＋ny2＝1(m>0,n>0) 師：這裏能否一般化？
生2：能！∵拋物線的焦點在x軸上，∴設方程y2＝mx(m≠0) 將點(－3,2)代入方程得m＝－4/3，所以方程為y2＝－4x/3。 例2 求適合下列條件的拋物線的標準方程 ⑴過點(－3,2)；
生：設方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，將點的座標代入得
y2 ＝－4x/3或 x2＝9y/2 ⑵焦點為直線l：2x＋y－4＝0與座標軸的交點。 生：先求出直線與座標軸的交點（2,0）或（0,4），故標準方程為y2 ＝8x或 x2＝16y 例3 點p(2,y)為拋物線y2＝8x上的一點，f是它的焦點，則|pf|＝______，y＝_____。
生：由拋物線y2＝8x知準線方程x＝－2，根據拋物線的定義知|pf|等於點p到準線的距離4，將點的座標代入方程有y＝±4。
師：解決這類問題，首先心中要有一個圖形，利用定義求解是關鍵。 變：若點q為拋物線的一點，
⑴若|qf|＝4，則點q的座標是_________； 生：(2,±4) ⑵|qf|的最小值是_______； 生：2 ⑶若a(3,4),則|qa|＋|qf|的最小值是____，此時點q的座標是_______。 生：5；（2,4） 歸納總結
師：下面請同學們回憶一下，這節課學習的主要內容？
生：⑴拋物線的定義、焦點、準線、標準方程等基本知識及其相互聯繫； ⑵理解p的幾何意義，即焦點到準線的距離，p>0；
⑶掌握用座標法求曲線方程的方法，要注意選好座標系的恰當位置。 師：用到了哪些數學思想方法：
生：座標法、數形結合、待定係數法、定義法 師：一起觀看錶格，並填充（表在幾何畫板上） 3 回顧反思
這堂課受到聽課教師和學生的好評，主要是因為把學習的主動權交給學生，利用幾何畫板創設情境，使得學習內容直觀、生動，抓住解析幾何的核心─數形結合。 創設情境是上好課的基??
利用幾何畫板從學生已有的知識進行遷移，採用類比的方法讓學生主動學習、合作交流，體驗數學的發現和創造過程，培養學生數學表達和交流的能力。 恰當引導學生提出數學問題
在上課前需要事先預想學生可能會提出的問題以及可能提出的解決方法，但是也不能忽視學生的發散思維，在講授過程中並不是每一個環節都能按照教師預想的步驟進行，對於課堂上突發性的問題，教師要能自如地應對。比如，在如何建立直角座標系求方程時，有一個學生提出以fk為y軸，fk的中垂線為x軸，雖然與我們的過程不一致，也要加以肯定與鼓勵，其實從另一個角度來看，反而是一件好事，為我們後面談其它三種形式埋下引子。 變式訓練，提高學生解題能力與思維深度
在本例中，我們圍繞例1進行變式訓練，師生圍繞幾個典型問題展開了充分的討論，學生在質疑、討論、總結的過程中，理解了拋物線的定義與標準方程，形成了自己的數學思想方法，更觸發了學生積極思考、勤奮探索的動力，開發了學生的智慧源泉，實現了舉一反
第2篇
課 題：拋物線及其標準方程(一) 教學目標：① 讓學生理解拋物線的概念及與橢圓、雙曲線第二定義的聯繫。
② 讓學生掌握拋物線的四種標準方程及其對應的圖形。 能力目標: ① 培養建立適當座標系的能力。
② 培養學生的觀察、比較、分析、概括的能力。 情感態度：① 培養學生的探索精神
價值觀 ② 滲透辯證唯物主義的方法論和認識論教育 教學重點：拋物線的定義及標準方程的推導。
教學難點：標準方程的形式與圖形、焦點座標、準線方程的對應關係。 教學方法：啟發誘導式 教學手段：多媒體輔助教學 教學過程：
一、温故知新，導入新課 複習提問：什麼是橢圓和雙曲線的第二定義？
學生回答：平面內與一個定點f的距離和一條定直線l(f?l)的距離的比是常數e的點的軌跡，當o1時是雙曲線。 追問：那麼當e=1時又是什麼曲線呢？
指出：這就是拋物線，也是我們今天要研究的問題 二．動手實驗，得出定義 學生動手實驗，教師指導。 教師演示動畫 學生得出拋物線定義
定義：平面內到一個定點f的距離和到一條定直線l(f?l)的距離相等的點的軌
跡叫做拋物線。其中定點f叫做拋物線的焦點，定直線l叫拋物線的準線。
追問：如何建立適當的直角座標系，推導拋物線的方程。
教師巡視：利用投影儀展示學生中典型的建系方式以及得出的不同方式形式，讓學生觀察比較。
追問：如何得到相應的方程？請説出每個方程對應曲線的對稱軸，開口方向焦點座標，準線方程，並從中找出規律。
2y例 ： (1)已知拋物線方程?6x，求焦點座標及準線方程。
六、歸納小結，鞏固提高 學生歸納總結，教師補充。
第3篇
圓錐曲線是解析幾何中的一個重要內容，本章圓錐曲線分為橢圓、雙曲線和拋物線三個部分，三部分在圓錐曲線中的地位相同。本章對拋物線的安排篇幅不多，並非其不重要，主要是因為學生對於橢圓、雙曲線的基本知識和研究方法已經熟悉了，這裏精簡介紹，學生是完全可以接受的，講解時應採用類比的方法讓學生自主研究、合作交流等方式得出拋物線的定義、標準方程，最後反思應用。。本課是高二數學的第一課時，它是學習拋物線的性質及其應用的基礎。拋物線的定義很簡單但非常重要，學習時要注意和橢圓、雙曲線的第二定義相聯繫，為深刻體會圓錐曲線的統一定義作好充分準備。由橢圓、雙曲線、拋物線的定義可以看出，它們都是平面內與一個定點的距離和它到一條直線的距離之比為常數e的點的軌跡，隨着e的變化，軌跡的圖形發生變化，既可從中得到圓錐曲線的統一定義，又可對學生進行運動、變化、對立、統一的辯證唯物主義思想教育。在由拋物線的定義導出它的標準方程時，可先讓學生考慮怎樣選擇座標系，在導出方程的過程中，設焦點到準線的距離是p，這就是拋物線方程中參數p的幾何意義，所以p的值永遠大於0。 數學情境的創設
筆者上這一節課的時間是2015年4月10日上午第二節，當時的背景是高
一、高二數學研討會在我校舉行，圍繞新課改的精神，如何進行課堂教學上的一節公開課。筆者設置了以下的數學情境：
前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標準方程，幾何性質，大家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內容是什麼？
與一個 定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓，當e＞1時是雙曲線，那麼，當e=1時，它是什麼曲線呢？
師生一起利用幾何畫板進行動畫演示得出e=1，指出此時曲線是拋物線。 教學目標
根據教學大綱和考試説明，結合數學情境的創設，確定本節課的素質教育目標是：
⑴知識教學目標：理解和掌握拋物線的定義與標準方程。
⑵能力訓練目標：掌握拋物線的定義及其標準方程，掌握拋物線的焦點、準線及方程與焦點座標的關係，培養學生數形結合、分類討論、類比的思想。
⑶德育滲透目標：根據圓錐曲線的統一定義，對學生進行運動、變化、對立、統一的辯證唯物主義思想教育。
師：前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標準方程，幾何性質，大家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內容是什麼？
生：與一個 定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓，當e＞1時是雙曲線，那麼，當e=1時，它是什麼曲線呢？
師生一起利用幾何畫板進行動畫演示得出e=1，指出此時曲線是拋物線。 （通過幾何畫板的演示，由e的變化揭示課題，通過研究e的值，得到拋物線，再觀察拋物線的點滿足的條件，由學生歸納拋物線的定義，生動、直觀。） 探索研究
學生觀察 ① 動點m到焦點f的距離|mf|與動點m到定直線l的距離d之間的關係；② 觀察追蹤動點m得到的軌跡形狀。
探索出當e ＝1時動點m的軌跡為拋物線，進而給出拋物線的定義。
平面內與一個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點f叫拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.
師：下面，根據拋物線的定義，我們來求拋物線的方程，過f作準線的垂線，垂足為k，設｜mk｜＝p，如何建立直角座標系？
先讓學生思考，獨立建立直角座標系，教師巡視，從學生中歸納出以下幾種解法，視頻展台展出。
師：選擇哪一種方程作為拋物線的標準方程？並説明理由。
生：將方程y2＝2px (p＞0)叫做拋物線的標準方程，因為此時方程最簡潔，頂點是原點。
師：很好！我們把方程y2＝2px (p＞0)叫做拋物線的標準方程，它表示焦點在x軸的正半軸上，座標是(p/2,0),準線方程是x＝－p/2。
② 已知拋物線的標準方程y2＝2px （p>0），迅速寫出它的焦點座標、準線方程； ③ 已知拋物線的焦點f（p/2 ，0）或準線方程x＝－p/2 （p>0），迅速寫出其標準方程。 練習：已知拋物線的標準方程是y2＝6x，則焦點座標是________；準線方程是_____________。
利用fash，設置一個旋轉按鈕將焦點在x軸正半軸上的拋物線（上圖）逆時針旋轉分別得到下列圖形，由學生説出標準方程，焦點座標及準線方程。
f(0，－p/2) 準線方程：x＝p/2 y＝－p/2 y＝p/2 師：觀察上面的圖與表格， 觀察、歸納，尋找異同？ 生：相同點
③頂點到焦點的距離等於頂點到準線的距離，其值為p(p＞0) 。 不同點
①一次項變量為x（或y），則焦點在x（或y）軸；若係數為正，則焦點在正半軸上，係數為負，則焦點在負半軸上；
② 焦點在x（或y）軸的正半軸上，開口向右（向上），焦點在x（或y）軸的負半軸上，開口向左（向下）。
師：知道拋物線的標準方程，如何寫出焦點座標與準線方程？
生1：先確定焦點的位置，然後根據表格寫出焦點座標與準線方程。
生2：先觀察方程的結構，若一次項變量為x，則焦點的橫座標是一次項系 3 數的1/4，縱座標為0；若一次項變量為y，則焦點的縱座標是一次項係數的1/4，橫座標為0。 反思應用
例1 已知拋物線的焦點座標是f（0，－2），求它的標準方程.
p生：因為焦點在y軸的負半軸上，並且?2,p?4,所以所求拋物線的標準
⑴拋物線的標準方程是y2=－6x，則它的焦點座標是＿，準線方程是＿＿＿； 生：焦點(－3/2,0)，準線方程x＝3/2
2⑵拋物線的標準方程是y=－x/8，則它的焦點座標是＿，準線方程是＿； 生：焦點(0，－2)，準線方程x＝2
師：大家想一想，在橢圓（或雙曲線）中，若橢圓（雙曲線）經過兩個點，求它的標準方程時，我們是如何設方程的？
生：一般化，設mx2＋ny2＝1(m>0,n>0) 師：這裏能否一般化？
生2：能！∵拋物線的焦點在x軸上，∴設方程y2＝mx(m≠0) 將點(－3,2)代入方程得m＝－4/3，所以方程為y2＝－4x/3。
例2 求適合下列條件的拋物線的標準方程 ⑴過點(－3,2)；
生：設方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，將點的座標代入得
y2 ＝－4x/3或 x2＝9y/2 ⑵焦點為直線l：2x＋y－4＝0與座標軸的交點。 生：先求出直線與座標軸的交點（2,0）或（0,4），故標準方程為y2 ＝8x或 x2＝16y
例3 點p(2,y)為拋物線y2＝8x上的一點，f是它的焦點，則|pf|＝______，y＝_____。
生：由拋物線y2＝8x知準線方程x＝－2，根據拋物線的定義知|pf|等於點p到準線的距離4，將點的座標代入方程有y＝±4。
師：解決這類問題，首先心中要有一個圖形，利用定義求解是關鍵。
⑴若|qf|＝4，則點q的座標是_________； 生：(2,±4) ⑵|qf|的最小值是_______； 生：2 ⑶若a(3,4),則|qa|＋|qf|的最小值是____，此時點q的座標是_______。 生：5；（2,4） 歸納總結
4 師：下面請同學們回憶一下，這節課學習的主要內容？
生：⑴拋物線的定義、焦點、準線、標準方程等基本知識及其相互聯繫； ⑵理解p的幾何意義，即焦點到準線的距離，p>0；
⑶掌握用座標法求曲線方程的方法，要注意選好座標系的恰當位置。 師：用到了哪些數學思想方法：
生：座標法、數形結合、待定係數法、定義法 師：一起觀看錶格，並填充（表在幾何畫板上）
這堂課受到聽課教師和學生的好評，主要是因為把學習的主動權交給學生，利用幾何畫板創設情境，使得學習內容直觀、生動，抓住解析幾何的核心─數形結合。
利用幾何畫板從學生已有的知識進行遷移，採用類比的方法讓學生主動學習、合作交流，體驗數學的發現和創造過程，培養學生數學表達和交流的能力。 恰當引導學生提出數學問題
在上課前需要事先預想學生可能會提出的問題以及可能提出的解決方法，但是也不能忽視學生的發散思維，在講授過程中並不是每一個環節都能按照教師預想的步驟進行，對於課堂上突發性的問題，教師要能自如地應對。比如，在如何建立直角座標系求方程時，有一個學生提出以fk為y軸，fk的中垂線為x軸，雖然與我們的過程不一致，也要加以肯定與鼓勵，其實從另一個角度來看，反而是一件好事，為我們後面談其它三種形式埋下引子。 變式訓練，提高學生解題能力與思維深度
在本例中，我們圍繞例1進行變式訓練，師生圍繞幾個典型問題展開了充分的討論，學生在質疑、討論、總結的過程中，理解了拋物線的定義與標準方程，形成了自己的數學思想方法，更觸發了學生積極思考、勤奮探索的動力，開發了學生的智慧源泉，實現了舉一反
雖然本節課基本體現了新課改的精神，培養學生積極參與的習慣，並運用多媒體進行輔助教學，但是仍存在不足之處，如：拋物線的定義“平面內與一個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫拋物線.”從嚴格意義看是不嚴謹的，此時如設問“若定點f在定直線l上，則軌跡是什麼呢？”可強化學生對拋物線的定義的理解；其次歸納總結時在深化一下，如“知道拋物線的標準方程，如何畫拋物線的簡圖？”可引導學生課後有目的的預習，效果會更好；再次，如何根據學生髮展的需要創造性的使用教材，學會靈活、能動地運用教材，根據學生的實際調整、增刪教學內容，這幾個方面還有許多值得改進的地方。
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