高二數學知識點：函數基本性質總結

高二數學知識點：函數基本性質總結

知識點概述

關於函數的基本性質的知識點是一個系統的知識體系,需要重點掌握.

知識點總結

(一)函數的有關概念

1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值範圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x) x∈A }叫做函數的值域.

注意：如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合; 函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.

定義域補充

2.能使函數式有意義的實數 x 的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：

(1) 分式的分母不等於零;

(2) 偶次方根的被開方數不小於零;

(3) 對數式的真數必須大於零;

(4) 指數、對數式的底必須大於零且不等於 1.

(5) 如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的 . 那麼，它的定義域是使各部分都有意義的 x 的值組成的集合 .

(6)指數為零底不可以等於零

構成函數的三要素：定義域、對應關係和值域

再注意：

(1)構成函數三個要素是定義域、對應關係和值域.由於值域是由定義域和對應關係決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關係完全一致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數)

(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①表達式相同;②定義域一致 (兩點必須同時具備)

值域補充

( 1 )、函數的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函數的值域都應先考慮其定義域 . ( 2 ) . 應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解複雜函數值域的基礎 . ( 3 ) . 求函數值域的常用方法有：直接法、反函數法、換元法、配方法、均值不等式法、判別式法、單調性法等 .

3. 函數圖象知識歸納

(1) 定義：在平面直角座標系中，以函數 y=f(x) , (x ∈A)中的 x 為橫座標，函數值 y 為縱座標的點 P(x ， y) 的集合 C ，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象.

C 上每一點的座標 (x ， y) 均滿足函數關係 y=f(x) ，反過來，以滿足 y=f(x) 的每一組有序實數對 x 、 y 為座標的點 (x ， y) ，均在 C 上 . 即記為 C={ P(x,y) y= f(x) , x ∈A }

圖象 C 一般的是一條光滑的連續曲線 ( 或直線 ), 也可能是由與任意平行與 Y 軸的直線最多隻有一個交點的若干條曲線或離散點組成 .

(2) 畫法

A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出 x,y 的一些對應值並列表，以 (x,y) 為座標在座標系內描出相應的點 P(x, y) ，最後用平滑的曲線將這些點連接起來 .

B、圖象變換法(請參考必修4三角函數)

常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換

(3) 作用：

1) 、直觀的看出函數的性質; 2) 、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。

發現解題中的錯誤。

4.快去了解區間的概念

(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間;(2)無窮區間;(3)區間的數軸表示.

5.什麼叫做映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：A B”

給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那麼，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

説明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的;②對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關係一般是不同的;③對於映射f：A→B來説，則應滿足：(Ⅰ)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，並且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個;(Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

常用的函數表示法及各自的優點：

函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據; 解析法：必須註明函數的定義域; 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域;化簡函數的解析式;觀察函數的特徵; 列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特徵.

注意啊：解析法：便於算出函數值。列表法：便於查出函數值。圖象法：便於量出函數值

補充一：分段函數 (參見課本P24-25)

在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的範圍裏求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式並用一個左大括號括起來，並分別註明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數;(2)分段函數的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集.

補充二：複合函數

如果 y=f(u),(u ∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 稱為f、g的複合函數。

常見考點考法

關於值域 定義域的考核是重點

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